(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0, zeros)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → s(a__length(mark(L)))
mark(zeros) → a__zeros
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(nil) → nil
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__zeros → zeros
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
Rewrite Strategy: FULL
(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(2) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → s(a__length(mark(L)))
mark(zeros) → a__zeros
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(nil) → nil
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__zeros → zeros
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(4) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → s(a__length(mark(L)))
mark(zeros) → a__zeros
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(nil) → nil
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__zeros → zeros
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
s :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
hole_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark,
a__lengthThey will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__length
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
s(
a__length(
mark(
L)))
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
nil) →
nilmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__zeros →
zerosa__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
s :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
hole_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__length
(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
a__length(
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(
+(
1,
n4_0))) →
*3_0, rt ∈ Ω(n4
0)
Induction Base:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, 0)))
Induction Step:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, +(n4_0, 1)))) →RΩ(1)
s(a__length(mark(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, n4_0))))) →RΩ(1)
s(a__length(cons(mark(0'), gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(n4_0)))) →RΩ(1)
s(a__length(cons(0', gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(n4_0)))) →IH
s(*3_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(8) Complex Obligation (BEST)
(9) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
s(
a__length(
mark(
L)))
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
nil) →
nilmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__zeros →
zerosa__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
s :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
hole_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
Lemmas:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__length
(10) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol mark.
(11) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
s(
a__length(
mark(
L)))
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
nil) →
nilmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__zeros →
zerosa__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
s :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
hole_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
Lemmas:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(12) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
(13) BOUNDS(n^1, INF)
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
s(
a__length(
mark(
L)))
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
nil) →
nilmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__zeros →
zerosa__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
s :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
and :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
length :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
hole_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length
Lemmas:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(15) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
a__length(gen_0':zeros:cons:tt:nil:s:and:length2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
(16) BOUNDS(n^1, INF)